Původní název:
Theory and Methods of Piecewise Defined Fractional Operators
Obsah knihy:
Komunita matematiků, informatiků a počítačových modelářů se snaží vyvinout nové nástroje, které by umožnily lepší analýzu složitých jevů. Kniha Piecewise Defined Fractional Operators- Volume 1: Theory and Methods představuje nové matematické metody pro odvození řešení složitých modelů se stabilitou, konzistencí a konvergencí.
Tyto nástroje zahrnují nové typy nelokálních derivací a integrálů, jako jsou fraktálně-frakční derivace a integrály. Doktoři Atangana a Araz představují teoretické a numerické analýzy nově zavedených operátorů fragmentárních diferenciálů a integrálů, u nichž je pozorováno chování křížení, a také jejich aplikace na reálné problémy. Kniha obsahuje základní pojmy, které čtenářům pomohou lépe pochopit kouskový diferenciální a integrální počet a jejich aplikace na modelování procesů s křížovým chováním.
První díl začíná představením toho, proč je piecewise calculus potřebný.
Poté jsou uvedeny definice derivací a integrálů s jejich různými vlastnostmi. Uvažuje se o několika Cauchyho problémech s operátory kouskových diferenciálů a je představena jejich existence a jednoznačnost za určitých podmínek; zejména je použit Carathodoryho princip k zajištění existence a jednoznačnosti těchto nových Cauchyho problémů.
Jsou zavedena nová numerická schémata pro odvození numerických řešení těchto nových rovnic a je představena analýza stability, konzistence a konvergence těchto nových numerických přístupů. Autoři zejména zavádějí modifikovanou parametrizovanou metodu a ukazují, že jejich verze je mnohem přesnější pro řešení klasických a frakčních diferenciálních rovnic. V případě obyčejných diferenciálních rovnic je představeno a dokázáno několik důležitých teoretických konceptů, které jsou pak aplikovány na několik oblastí včetně chaosu, epidemiologického modelování, biologického modelování a dalších.
Tato koncepce je pak nakonec přizpůsobena parciálním diferenciálním rovnicím, kde jsou představena nová numerická schémata. U některých rovnic jsou diskutovány důležité koncepty, jako jsou energetické metody. Ve druhém díle jsou pak tyto koncepty aplikovány na širokou škálu problémů vyplývajících z přenosu tepla, transportu podzemní vody, proudění podzemní vody, dynamiky telegrafu a dalších.
