Odvozené Langlandovy: Monomiální řešení přípustných reprezentací

Původní název:

Derived Langlands: Monomial Resolutions of Admissible Representations

Obsah knihy:

Langlandsův program je jednou z nejdůležitějších oblastí moderní čisté matematiky. Význam tohoto svazku spočívá v tom, že může mnohé aspekty tohoto programu přetvořit do zcela nových souvislostí.

Například morfismy v monomické kategorii lokálně p-adické Lieovy grupy mají distribuční popis, a to díky Bruhatovi v jeho disertační práci. S přípustnými reprezentacemi se v programu často zachází prostřednictvím konvolučních algeber distribucí a reprezentací Heckeho algeber. Monomické vnoření, zavedené v této knize, elegantně spojuje tato dvě použití teorie distribucí.

Autor na tuto aplikaci navazuje podáním monomické kategoriální úpravy Bernsteinova centra, klasifikovaného Deligne-Bernstein-Zelevinským.

Tato kniha poskytuje nové kategoriální prostředí, v němž lze přistupovat k dobře známým tématům. Proto je kontextem použitým pro vysvětlení příkladů často obecněji přístupný případ reprezentací konečných obecných lineárních grup.

Například Galoisova změna báze a epsilonové faktory pro lokálně p-adické Lieovy grupy jsou ilustrovány analogickým Shintaniho sestupem, respektive Kondo-Gaussovými součty. Důraz je kladen na obecné lineární grupy lokálních polí. Protože však filozofie této knihy je v podstatě filozofií teorie homotopie a algebraické topologie, obsahuje krátký dodatek, který ukazuje, jak lze Bruhatovy-Titsovy stavby, postačující pro obecnou lineární grupu, zobecnit na Dieckovy prostory (nyní známé jako Baumovy-Connesovy prostory), když je G lokálně p-adická Lieova grupa.

Cílem této monografie je popsat funktoriální vnoření kategorie přípustných k-reprezentací lokálně profinitní topologické grupy G do odvozené kategorie aditivní kategorie kategorie přípustných k-monomických modulů. Znalce Langlandsova programu může zajímat, že je-li G lokálně p-adická Lieova grupa, je monomická kategorie úzce spjata s kategorií topologických modulů nad jakousi rozšířenou Heckeho algebrou s generátory odpovídajícími znakům na kompaktních otevřených modulo centrálních podgrupách G. Po zavedení tohoto funktoriálního vnoření se zkoumá, jak se složky slavného Langlandsova programu adaptují na kontext odvozené kategorie monomických modulů.

Patří mezi ně automorfní zobrazení, epsilonové faktory a L-funkce, modulární formy, Weilova-Delignova zobrazení, změna Galoisovy báze a Heckeho operátory.