Recenze čtenářů
Aktuálně nejsou k dispozici žádné recenze čtenářů. Hodnocení je založeno na 73 hlasů.
Původní název:
Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes
Obsah knihy:
Tento text představuje úvod do diferenciální geometrie pro studenty matematiky a fyziky. Výklad sleduje historický vývoj pojmů konexe a křivosti s cílem vysvětlit Chern-Weilovu teorii charakteristických tříd na hlavním svazku. Cestou se setkáváme s některými vrcholnými body historie diferenciální geometrie, například s Gaussovým Theorema Egregium a Gaussovou-Bonnetovou větou. Cvičení v celé knize prověřují čtenářovo porozumění látce a někdy ilustrují rozšíření teorie. K předpokladům pro čtenáře zpočátku patří letmá znalost mnohostran. Po první kapitole se stává nezbytným pochopení diferenciálních forem a manipulace s nimi. V poslední třetině textu je nutná znalost de Rhamovy kohomologie.
Předpokládaný materiál je obsažen v autorově textu An Introduction to Manifolds a lze jej zvládnout za jeden semestr. Pro potřeby čtenářů a zavedení společných notací připomíná Dodatek A základy teorie mnohostěnů. Ve snaze učinit výklad samostatnějším jsou navíc zařazeny oddíly o algebraických konstrukcích, jako je tenzorový součin a vnější mocnina.
Diferenciální geometrie, jak už název napovídá, se zabývá studiem geometrie pomocí diferenciálního počtu. Její počátky sahají až k Newtonovi a Leibnizovi v sedmnáctém století, ale rozkvět a moderní základy diferenciální geometrie byly položeny až v devatenáctém století, kdy Gauss pracoval na plochách a Riemann na tenzoru křivosti. V uplynulých sto letech se diferenciální geometrie ukázala jako nepostradatelná pro pochopení fyzikálního světa, a to v Einsteinově obecné teorii relativity, v teorii gravitace, v měrné teorii a nyní i v teorii strun. Diferenciální geometrie je užitečná také v topologii, několika komplexních proměnných, algebraické geometrii, komplexních mnohovrstevnicích a dynamických systémech a dalších oborech. Tento obor dokonce našel uplatnění v teorii grup, jako v Gromovově práci, a v teorii pravděpodobnosti, jako v Diaconisově práci. Není příliš nadsazené tvrdit, že diferenciální geometrie by měla patřit do arzenálu každého matematika.
