Formální základy matematiky: Matematické základy: logika, množiny a čísla

Původní název:

A Formal Background to Mathematics: Logic, Sets and Numbers

Obsah knihy:

1 Tváří v tvář otázkám uvedeným v předmluvě jsem při psaní této knihy vycházel z předpokladu, že typický čtenář bude mít určité vlastnosti.

Bude pravděpodobně obeznámen s konvenčními výklady určitých částí matematiky a s mnoha takzvanými matematickými tvrzeními, z nichž o některých (větách) bude vědět (buď proto, že sám studoval a strávil důkaz, nebo proto, že přijímá autoritu jiných), že jsou pravdivá, a o jiných bude vědět (z téhož důvodu), že jsou nepravdivá. Přesto si bude vědom a bude znepokojen nejasností, kterou má ve své mysli ohledně pojmů důkaz a pravda v matematice, ačkoli bude téměř jistě cítit, že v matematice mají tyto pojmy zvláštní významy, které se navenek v mnohém podobají pojmům v běžném životě, a přesto se od nich liší, a také že jsou založeny na jiných kritériích než experimentální kritéria používaná ve vědě.

Bude si vědom výroků, o nichž dosud není známo, zda jsou pravdivé, nebo nepravdivé (nevyřešené problémy). Dost možná ho překvapí a vyděsí možnost, že existují výroky, které jsou „definitivní“ (ve smyslu, že nezahrnují žádné volné proměnné), a které přesto nelze nikdy (striktně na základě dohodnutého souboru axiomů a dohodnutého pojetí důkazu) ani dokázat, ani vyvrátit (vyvrátit).