Úvod do stochastických procesů

Původní název:

Introduction to Stochastic Processes

Obsah knihy:

Cílem této knihy je poměrně stručně představit prvky stochastických procesů, kde jsou uvedeny dvě nejdůležitější části - Markovovy řetězce a stochastická analýza. Čtenáři jsou vedeni přímo k jádru hlavních témat, která budou v této souvislosti zpracována.

Další podrobnosti a doplňující materiály jsou ponechány v části obsahující hojná cvičení pro další čtení a studium. V části věnované Markovovým řetězcům je kladen důraz na ergodicitu. Pomocí metody minimálního nezáporného řešení se zabýváme rekurencí a různými typy ergodicity.

Postupuje se postupně od konečných stavových prostorů k denumerabilním stavovým prostorům a od diskrétního času ke spojitému času.

Metody důkazů přebírají moderní techniky, jako jsou metody spojování a duality. Zahrnuty jsou i některé zcela nové výsledky, například odhad spektrální mezery.

Struktura a důkazy v první části se poněkud liší od ostatních existujících učebnic o Markovových řetězcích. V části o stochastické analýze se zabýváme teorií martingalů a Brownova pohybu, stochastickým integrálem a stochastickými diferenciálními rovnicemi s důrazem na jednu dimenzi a vícerozměrným stochastickým integrálem a stochastickou rovnicí založenou na semimartingalech. Představíme zde tři důležitá témata: Feynmanovu-Kacovu formuli, transformaci náhodného času a Girsanovovu transformaci.

Jako zásadní aplikace teorie pravděpodobnosti v klasické matematice se zabýváme také slavnou Brunnovou-Minkowského nerovností v konvexní geometrii. V této knize najdete také moderní teorii pravděpodobnosti, která se využívá v různých oblastech, jako je MCMC, nebo dokonce v deterministických oblastech: konvexní geometrii a teorii čísel. Poskytuje nový a přímý postup pro studenty, kteří procházejí přes klasické Markovovy řetězce až k moderní stochastické analýze.