Teorie kvantovaných čísel, fraktální struny a Riemannova hypotéza: Od spektrálních operátorů k fázovým přechodům a univerzalitě

Původní název:

Quantized Number Theory, Fractal Strings and the Riemann Hypothesis: From Spectral Operators to Phase Transitions and Universality

Obsah knihy:

Studium vztahu mezi geometrií, aritmetikou a spektry fraktálů je předmětem značného zájmu současné matematiky. Tato kniha přispívá k literatuře na toto téma několika různými a novými způsoby. Autoři zejména poskytují důkladné a podrobné studium spektrálního operátoru, mapy, která posílá geometrii fraktálních řetězců na jejich spektrum. Za tímto účelem využívají a rozvíjejí metody z fraktální geometrie, funkcionální analýzy, komplexní analýzy, teorie operátorů, parciálních diferenciálních rovnic, analytické teorie čísel a matematické fyziky. Původně M. L. Lapidus a M. van Frankenhuijsen "heuristicky" zavedli spektrální operátor při rozvoji teorie fraktálních strun a jejich komplexních rozměrů, konkrétně při reinterpretaci dřívější práce M. L. Lapiduse a H. Maiera o inverzních spektrálních problémech pro fraktální struny a Riemannovu hypotézu. Jedním z hlavních témat knihy je poskytnout rigorózní rámec, v němž lze zodpovědět odpovídající otázku "Lze slyšet tvar fraktální struny? ' nebo ekvivalentně 'Lze získat informace o geometrii fraktální struny vzhledem k jejímu spektru? ' lze dále přeformulovat v termínech invertibility nebo kvazi-invertibility spektrálního operátoru.

Infinitezimální posun reálné přímky je nejprve přesně definován jako diferenční operátor na rodině vhodně vážených Hilbertových prostorů funkcí na reálné přímce a indexován rozměrovým parametrem c. Poté je spektrální operátor definován pomocí funkcionálního kalkulu jako funkce infinitezimálního posunu. Tímto způsobem se na něj pohlíží jako na přirozenou "kvantovou" analogii Riemannovy zeta funkce. Přesněji řečeno, v tomto rámci je spektrální operátor definován jako složená mapa Riemannovy zeta funkce s infinitesimálním posunem, na kterou se pohlíží jako na neohraničený normální operátor působící na výše uvedený Hilbertův prostor. Ukazuje se, že kvazi-invertibilita spektrálního operátoru úzce souvisí s existencí kritických nul Riemannovy zeta funkce, což vede k nové spektrální a operátorově teoretické reformulaci Riemannovy hypotézy. Podle toho je spektrální operátor kvaziinvertibilní pro všechny hodnoty rozměrového parametru c v kritickém intervalu (0,1) (kromě středního fraktálního případu, kdy c =1/2) tehdy a jen tehdy, když platí Riemannova hypotéza (RH). Související, ale zdánlivě zcela odlišná reformulace RH, kterou má na svědomí druhý autor a která se označuje jako "asymetrické kritérium pro RH", je rovněž podrobně diskutována: totiž že spektrální operátor je inverzní pro všechny hodnoty c v levém kritickém intervalu (0,1/2) tehdy a jen tehdy, je-li RH pravdivá.

Tyto spektrální reformulace RH vedly v této souvislosti také k objevu několika "matematických fázových přechodů" pro tvar spektra, invertibilitu, ohraničenost nebo neohraničenost spektrálního operátoru, které se vyskytují buď ve středně fraktálním, nebo v nejvíce fraktálním případě, kdy je základní fraktální dimenze rovna 1/2, resp. 1. Zejména střední fraktální dimenze c=1/2 hraje roli kritického parametru v kvantové statistické fyzice a v teorii fázových přechodů a kritických jevů. Autoři dále uvádějí "kvantovou analogii" Voroninovy klasické věty o univerzálnosti Riemannovy zeta funkce. Kromě toho získávají a studují kvantované protějšky Dirichletovy řady a Eulerova součinu pro Riemannovu zeta funkci, u nichž se ukazuje, že konvergují (ve vhodném smyslu) i uvnitř kritického pásu. Z pedagogických důvodů je většina knihy věnována studiu kvantované Riemannovy zetové funkce. Očekává se však, že výsledky získané v této monografii povedou ke kvantizaci většiny klasických aritmetických zeta funkcí, a tedy k další "přirozené kvantizaci" různých aspektů analytické teorie čísel a aritmetické geometrie.

Kniha by měla být přístupná odborníkům i neodborníkům, včetně studentů matematiky a fyziky, postdoktorandů a výzkumných pracovníků, kteří se zajímají o fraktální geometrii, teorii čísel, teorii operátorů a funkcionální analýzu, diferenciální rovnice, komplexní analýzu, spektrální teorii, ale i matematickou a teoretickou fyziku. Kdykoli je to nutné, jsou poskytnuty vhodné informace o různých dotčených tématech a nová práce je zasazena do příslušného historického kontextu. Součástí je také několik příloh doplňujících hlavní text.