Geometrie skupiny symplektického diferenciálu

Původní název:

The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism

Obsah knihy:

Skupina hamiltonovských difeomorfismů Ham(M, 0) symplektického manévru (M, 0) hraje zásadní roli jak v geometrii, tak v klasické mechanice. Pro geometra je to, alespoň za určitých předpokladů o množině M, právě spojitá složka identity v grupě všech symplektických difeomorfismů.

Z hlediska mechaniky je Ham(M, O) grupa všech přípustných pohybů. Jaké je minimální množství energie potřebné ke generování daného hamiltonovského difeomorfismu I? Pokus o formalizaci a zodpovězení této přirozené otázky vedl H. Hofera HI) (1990) k pozoruhodnému objevu.

Ukázalo se, že řešení tohoto variačního problému lze interpretovat jako geometrickou veličinu, a to jako vzdálenost mezi I a identitní transformací. Tato vzdálenost je navíc spojena s kanonickou biinvariantní metrikou na Ham(M, 0).

Od Hoferovy práce je tato nová ge- ometrie intenzivně studována v rámci moderní symplektické topologie. V této knize popíšu některé z těchto vývojových trendů.

Hoferova geometrie nám umožňuje studovat různé pojmy a problémy, které vycházejí ze známé geometrie konečných rozměrů v kontextu grupy Hamiltonových difeomorfismů. Ukazuje se, že se velmi liší od obvyklého okruhu problémů uvažovaných v symplektické topologii, a tak významně rozšiřují náš pohled na symplektický svět.