Algebraická geometrie a aritmetické křivky

Recenze čtenářů

Kniha je obecně dobře hodnocena jako doprovodný text k Hartshornově knize o algebraické geometrii, zejména pro svou přehlednost v teorii schémat a zaměření na aritmetické aplikace. Bylo však poznamenáno, že některé důkazy by mohly být jasnější a některá důležitá témata nejsou dostatečně pokryta.

⬤ Výborný doplněk Hartshornovy knihy
⬤ jasná a zasvěcená vysvětlení
⬤ mnoho konkrétních příkladů a protipříkladů
⬤ přizpůsobeno pro aritmetické mozky
⬤ poskytuje dobrý základ v teorii schémat
⬤ čtivější než Hartshornova kniha
⬤ podstatný obsah ve srovnání se Shafarevichovou knihou.

⬤ Některé důkazy nejsou jasné a jsou podány ad hoc způsobem
⬤ některá důležitá témata nejsou dostatečně pokryta
⬤ neodkazuje na starší jazyky
⬤ pozdější části se opírají o citované výsledky komutativní algebry
⬤ někteří uživatelé doporučují doprovodit ji Hartshornem nebo jinými pracemi pro komplexní pochopení.

(na základě 6 hodnocení čtenářů)

Původní název:

Algebraic Geometry and Arithmetic Curves

Obsah knihy:

Toto nové vydání v papírové podobě poskytuje obecný úvod do algebraické a aritmetické geometrie, počínaje teorií schémat, po níž následují aplikace na aritmetické povrchy a na teorii redukce algebraických křivek.

V první části jsou představeny základní objekty, jako jsou schémata, morfismy, změna báze, lokální vlastnosti (normalita, regularita, Zariskiho hlavní věta). Poté následuje globálnější aspekt: koherentní snopy a věta o konečnosti pro jejich kohomologické grupy. Poté následuje kapitola o diferenciálních snopech, dualizujících snopech a Grothendieckově teorii duality. První část končí Riemann-Rochovou větou a její aplikací na studium hladkých projektivních křivek nad polem. Singulární křivky jsou pojednány prostřednictvím podrobného studia Picardovy grupy.

Druhá část začíná vyfukováním a desingularizací (vloženou či nevloženou) vláknitých ploch nad Dedekindovým kruhem, což vede k teorii průsečíků na aritmetických plochách. Je dokázáno Castelnuovo kritérium a také existence minimálního regulárního modelu. To vede ke studiu redukce algebraických křivek. Podrobně je studován případ eliptických křivek. Knihu uzavírá základní věta o stabilní redukci Deligne-Mumford.

Kniha je v podstatě samostatná, včetně nezbytného materiálu o komutativní algebře. Předpokladů je málo a včetně mnoha příkladů a přibližně 600 cvičení je kniha ideální pro postgraduální studenty.